钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷三十二
末部二
借根方比例【开诸乘方法
诸乘方表】
开诸乘方法
借根方比例法中开各乘方爲最要其算线部借根算面部借平方算体部借立方以及多乘方虽各按其类然有法属线类而仍须诸乘方算者故诸乘方之法宜审也葢诸乘方之形体不同开法之难易迥别总以廉法之多少而分平方之廉最少故最易立方之廉较多故较难自三乘以至多乘其廉愈多则其法愈难今自平方以至九乘方俱専立一法在平方立方所省不多而三乘方以后则甚爲简捷至于诸乘方中亦有可以用平方立方之法代开者如三乘方与平方自乘之数等故可以平方两次开之五乘方与平方自乘再乘之数等亦与立方自乘之数等故可以平方开之继以立方开之七乘方与平方两次自乘之数等故可以平方三次开之八乘方与立方自乘再乘之数等故可以立方两次开之九乘方与四乘方自乘之数等故可以平方开之继以四乘方开之惟四乘方及六乘方与平方立方之数皆不相合故不可以平方立方之法代开也又诸乘方次商之数最难定今自立方至九乘方俱爲立根数两位之表若根数两位者以积数捡表即得更爲便捷至于十乘方以后并可以此法御之但其数繁衍而无所用兹故不载焉
平方
设如有平方积一万五千一百二十九尺开平方问每一根之数几何
法列方积一万五千一百二十九尺自末位起算每方积二位定方根一位故隔一位作记乃于九尺上定单位一百尺上定十位一万尺上定百位其一万尺爲初商积与一百自乘之数相合即定初商爲一百尺书于方积一万尺之上而以初商一百尺自乘之一万尺书于初商积之下相减恰尽爰以方根第二位积五千一百尺续书于后爲次商廉隅之共积而以初商之一百尺倍之得二百尺爲次商廉法以除次商积足二十倍即定次商爲二十尺书于方积一百尺之上合初商共一百二十尺自乘得一万四千四百尺与原积相减余七百尺爰以方根第三位积二十九尺续书于后共七百二十九尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之一百二十尺倍之得二百四十尺爲三商廉法以除三商积足三倍即定三商爲三尺书于方积九尺之上合初商次商共一百二十三尺自乘得一万五千一百二十九尺与原积相减恰尽是开得一百二十三尺爲平方每一根之数也此法止用廉法除余积得次商即并初商数自乘得数复与原积相减与常法不同然自三乘方以至多乘方则廉法条例甚繁难于布算用此法甚爲省便在平方立方不觉其省【平方止省小隅一层立方止省长廉小隅二层】而在多乘方所省实多葢各设一例以备体也